Egy equilaterális trapéz átlója. Mi az átlagos trapézvonal? A trapéz típusai. A trapéz ..

Trapéz - egy speciális esete egy négyszög, amelyben egy pár oldala párhuzamos. A „trapéz” származik a görög szó τράπεζα, azaz „asztal”, „asztal”. Ebben a cikkben megnézzük típusú trapéz és tulajdonságai. Továbbá, nézzük, hogyan kell kiszámítani az egyes elemek a geometriai alakzat. Például, az átlós egy egyenlő oldalú trapéz, a középső sor, terület és mások. A anyag a elemi geometria népszerű stílus, t. E. könnyen hozzáférhető módon.

áttekintés

Először is, nézzük megérteni, mi a négyszög. Ez a szám egy speciális esete a sokszög, amelynek négy oldala és négy csúcsa. Két csúcsot egy négyszög, amelyek nem szomszédos, az úgynevezett szemben. Ugyanez mondható el a két nem-szomszédos oldalán. A főbb típusai a négyszögek - paralelogramma, téglalap, rombusz, négyzet, trapéz és deltoid.

Tehát vissza a trapéz. Mint már mondottuk, ez a szám a két fél egymással párhuzamosak. Ezek az úgynevezett bázis. A másik két (nem párhuzamos) - oldalán. Az anyagok a különböző vizsgálatok és vizsgálatok gyakran lehet találkozni járó kihívásokat trapéz melynek megoldása gyakran a diákok tudását nem terjed ki a program. School Course geometria vezet tanulók szögek és átlók tulajdonságai, valamint a középvonalon egy egyenlő szárú trapéz. De más nem említett geometriai alakzat további funkciók. De róluk majd később ...

típusú trapéz

Sok fajta ez a szám. Azonban a leggyakrabban szokás vizsgálni ketten - egyenlő szárú derékszögű.

1. Négyszögletes trapéz - egy alak, amelyben az egyik oldalán függőleges is az alaplapra. Ő két szög mindig egyenlő kilencven fokkal.

2. egyenlő szárú trapéz - mértani alakzat, amelynek oldalai egyenlő. Tehát, a szögek a tövénél is egyenlő.

A fő elveit módszerek tanulmányozása tulajdonságait trapéz

Az alapelvek közé tartozik az úgynevezett feladat megközelítést. Tény, hogy nincs szükség, hogy kössön elméleti tanfolyam geometriája új tulajdonságokkal ez a szám. Lehetnek nyitott vagy a folyamat kialakítása a különböző feladatok (jobb rendszer). Nagyon fontos, hogy a tanár tudja, milyen feladatokat kell tenni előtt a diákok bármikor a tanulási folyamat. Sőt, minden egyes trapéz ingatlan jelölhető kulcsfontosságú feladat a feladat rendszer.

A második alapelv az úgynevezett spirális szervezet a tanulmány „figyelemre méltó” trapéz tulajdonságait. Ez azt jelenti, visszatérés a tanulási folyamat az egyes jellemzői a geometriai alakzat. Így a diákok könnyebben emlékszik rájuk. Például az ingatlan a négy pont. Be lehet bizonyítani, mint a tanulmány a hasonlóság, és ezt követően vektorok alkalmazásával. Egy Egyenlő háromszögek szomszédos oldalán a szám, akkor lehet bizonyítani segítségével nem csak a tulajdonságait háromszögek azonos magasságban vezetjük a oldalai fekszenek egy egyenes vonal, hanem az alábbi képlet segítségével S = 1/2 (ab * sinα). Továbbá, lehetőség van arra, hogy dolgozzanak ki a szinusztétel az A beírható trapéz vagy derékszögű háromszög és trapéz leírt t. D.

Használata „kívüli” funkciók mértani alakzat a tartalom az iskola természetesen - a többfeladatos a technológia tanítás. Állandó hivatkozás tulajdonságainak tanulmányozására a folyosón a másik lehetővé teszi, hogy a diákok megtanulják a trapéz mélyebb és biztosítja a sikeres feladat. Tehát folytassa a tanulmány ezen figyelemre méltó szám.

Elemei és tulajdonságai egy egyenlő szárú trapéz

Amint azt már említettük, ebben a geometriai alakzat oldal egyenlő. Mégis ez az úgynevezett jogot trapéz. És mi ez annyira figyelemre méltó, és miért kapta a nevét? A különlegessége ennek a szám elmondja, hogy ő nem csak egyenlő oldalai és szögei az alap, hanem átlósan. Ezen túlmenően, a szögek összege egyenlő szárú trapéz egyenlő 360 fok. De ez még nem minden! Csak körül egyenlő szárú leírható egy kört az összes ismert trapéz. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy az összeg szemközti szögek ezen az ábrán látható 180 fok, és kizárólag ez a feltétel lehet leírni, mint egy kör körül a négyszög. A következő tulajdonságok a geometriai alakzat az, hogy a távolság a tetején a bázis a vetülete a szemben álló csúcsok a sort tartalmazó bázis egyenlő lesz a középvonal.

Most nézzük meg, hogyan lehet megtalálni a sarkokban egy egyenlő szárú trapéz. Vegyünk egy megoldás erre a problémára, feltéve, hogy a méret a felek ismert alakja.

döntés

Szokás jelölésére négyszög A, B, C, D, ahol a BS és a BP - egy alapot. Az egyenlő szárú trapéz oldal egyenlő. Azt feltételezzük, hogy méretük egyenlő a X és Y méretekkel bázisok, és Z (kisebb és nagyobb, sorrendben). A számítás a szög a szükségességét, hogy tölteni a H magasság Az eredmény egy derékszögű háromszög ABN ahol AB - az átfogó, és a BN és AN - a lábak. Számítsuk ki a méret a láb AN: levonni a nagyobbik alapja minimális, és az eredményt osztva 2. írási képlet: (ZY) / 2 = F. Most, hogy kiszámítja a hegyesszög a háromszög használata funkció cos. Megkapjuk a következő bejegyzést: cos (β) = X / F. Most kiszámítja a szög: β = Arcos (X / F). Továbbá, ismerve az egyik sarokban, tudjuk meg, és a második, hogy ezt az elemi számtani művelet: 180 - β. Minden szögek meghatározása.

Van még egy másik megoldás erre a problémára. Kezdetben elhagyjuk a sarok a lábak magassága N. értékét számolja ki a BN. Tudjuk, hogy a tér a átfogó egy derékszögű háromszög egyenlő az négyzetének összege a másik két oldala van. Kapunk: BN = √ (X2 F2). Ezután használjuk a trigonometrikus függvény tg. Az eredmény: β = arctg (BN / F). A hegyesszög található. Ezután meghatározzuk tompaszög, mint az első módszer.

Az ingatlan az átlók egyenlő szárú trapéz

Először is, mi írjuk a négy szabályokat. Ha az átlós egy egyenlő szárú trapéz merőlegesek, akkor:

- a magassága a szám összegével egyenlő a bázisok, osztva két;

- a magassága, és a középső sor egyenlő;

- területe a trapéz egyenlő a tér a magasság (középvonala fele bázisok);

- a négyzet átlójának egy négyzet felével egyenlő összegével kétszer négyzet bázisok vagy középvonaltól (magasság).

Most nézd meg a meghatározó képlet az átlós egy egyenlő oldalú trapéz. Ez az információ lehet négy részre osztható:

1. Formula átlós hossza oldalán keresztülnyúló.

Feltesszük, hogy A jelentése - egy alacsonyabb bázis, B - Top, C - egyenlő oldalú, D - átlós. Ebben az esetben, a hossza a következőképpen határozhatjuk meg:

D = √ (C 2 + A * B).

2. képlet a átlós hossza a koszinusz.

Feltesszük, hogy A jelentése - egy alacsonyabb bázis, B - Top, C - egyenlő oldalú, D - átlós, α (az alsó alap) és β (a felső bázis) - trapéz sarkok. Kapjuk az alábbi képlet, amellyel ki lehet számítani az átló hosszát:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosa);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosa).

3. Formula átlós hossza egyenlő szárú trapéz.

Feltesszük, hogy A jelentése - egy alacsonyabb bázis, B - a felső, D - átlós, M - középső sor H - magasság, P - területe a trapéz, α és β - közötti szög átlók. Határozza meg a hossza a következő képletek:

- D = √ (M2 + N2);

- D = √ (H 2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M * N / sinα).

Erre az esetre a egyenlőség: sinα = sinβ.

4. Formula átlós hossza révén az oldalán és a magasság.

Feltesszük, hogy A jelentése - egy alacsonyabb bázis, B - Top, C - oldalán, D - átlós, H - magasság, α - szöget az alsó alap.

Határozza meg a hossza a következő képletek:

- D = √ (H 2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H 2 + (B + F * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Elemei és tulajdonságai egy téglalap alakú trapéz

Nézzük meg, mi érdekli ez a geometriai alakzat. Mint mondtuk, van egy téglalap alakú trapéz két derékszög.

A klasszikus definíció, vannak mások. Például, egy téglalap alakú trapéz - trapéz, amelyben az egyik oldalon merőleges az alapra. Vagy a forma, amelynek oldalsó szögek. Az ilyen típusú trapéz magassága az oldalsó, amely merőleges a bázisok. A középső sor - egy szegmens, amely összeköti a felezőpontja a két fél. Az ingatlan az említett elem az, hogy az párhuzamos legyen a bázisok és felével egyenlő az összegük.

Most nézzük meg az alapvető képleteket, amelyek meghatározzák a geometriai formák. Ehhez azt feltételezzük, hogy az A és B - bázis; C (merőleges a bázis) és a D - oldalán a téglalap alakú trapéz, M - középső sor, α - hegyesszög, P - a területen.

1. Az oldalsó merőleges a bázisok, egy alak egyenlő a magasság (C = N), és egyenlő a hossza a második oldal az A és a szinusz a szög α egy nagyobb bázist (C = A * sinα). Sőt, ez egyenlő a termék a tangense hegyesszög α, és a különbség a bázisok: C = (A-B) * tga.

2. Az oldalsó D (nem merőleges a bázis) egyenlő a hányadosa a különbség az A és B és koszinusz (α) vagy hegyesszögű a privát magassága H képek és sine hegyesszög: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. Az oldalsó, amely merőleges a bázisok, egyenlő a négyzetgyöke a tér a D különbség - a második oldal - és egy négyzet alapú különbségek:

C = √ (Q2 (A-B) 2).

4. Side Egy téglalap alakú trapéz egyenlő a négyzetgyöke egy négyzet összege egy négyzet oldala és C-bázisok geometriai forma különbség: D = √ (C 2 + (A-B) 2).

5. Az oldalsó C egyenlő a hányadosa a tér kettős összege a bázisok: C = P / M = 2P / (A + B).

6. A terület által meghatározott terméket M (a középvonala a négyszögletes trapéz) a magasság vagy oldalirányban merőleges a bázisok: P = M * N = M * C

7. C pozíció a hányadosa kétszerese négyzet alakú termék által szinusz hegyesszög, és az összege a bázisok: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. Képlet oldalán egy téglalap alakú trapéz keresztül átlós, és a köztük lévő szög:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

ahol a D1 és D2 - átlós a trapéz; α és β - a köztük lévő szög.

9. Formula oldalán keresztül szögben az alsó bázis és mások: A = (A-B) / cosa = C / sinα = H / sinα.

Mivel a trapéz derékszögű egy konkrét esetben a trapéz, a másik képletek, amelyek meghatározzák ezeket a számokat, találkozik és téglalap alakú.

Tulajdonságok beírt kör

Ha a feltétel azt mondta, hogy egy téglalap alakú trapéz beírt kör, akkor használja a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

- a bázis mennyisége az összege az oldalán;

- távolság a tetején a négyszögletes alakú pontok érintési a beírt kör mindig megegyezik;

- magassága a trapéz egyenlő az oldalsó, merőleges a bázisok, és egyenlő a a kör átmérője ;

- a kör középpontja az a pont, ahol metszik szögfelezői szögek ;

- Ha az oldalsó oldalon a érintkezési pont van osztva hosszúságú N és M, akkor a kör sugara egyenlő a négyzetgyöke a termék ezen szegmensek;

- négyszög által alkotott érintkezési pontok, a tetején a trapéz és a központ a beírt kör - ez egy négyzet alakú, amelynek oldala egyenlő a sugár;

- területe a szám a termék az ész, és a terméket a félig összege bázisok tetőpontján.

Hasonló trapéz

Ez a téma nagyon hasznos tanulmányozására tulajdonságait geometriai alakzatok. Például, az átlós osztott négy háromszög trapéz, és szomszédos a bázis a hasonló, és az oldalán - egyenlő. Ez a kijelentés lehet nevezni tulajdonát háromszögek, ami elromlott trapéz átlók. Az első rész Ezt igazolják a jele a hasonlóság a két sarkában. Annak bizonyítására, a második rész jobb a módszert az alábbiakban ismertetjük.

a bizonyítás

Fogadd el, hogy a szám ABSD (AD és BC - az alapja a trapéz) törött átlója HP és az AC. A metszéspont - O. Kapunk négy háromszög: AOC - az alacsonyabb bázis, BOS - a felső bázis, ABO és SOD az oldalon. Háromszögek SOD és biofeedback van egy közös magassága ebben az esetben, ha a szegmensek a BO és OD vannak azok bázisok. Azt találjuk, hogy a különbség az területek (P) egyenlő a különbség e szegmensek: PBO / pSOD = BO / ML = K. Következésképpen, a pSOD = PBO / K. Hasonlóképpen, a háromszögek AOB és biofeedback közös magasságot. Elfogadott azok bázis szegmensek SB és az OA. Kapunk PBO / PAOB = CO / OA = K és PAOB = PBO / K. Ebből az következik, hogy a pSOD = PAOB.

Hogy megszilárdítsa az anyagot a diákokat arra biztatják, hogy megtalálja a kapcsolatot a területek háromszögek kapunk, ami törött trapéz átlók, döntés a következő feladat. Köztudott, hogy a háromszögek BOS és az ADP-nak egyenlő, meg kell találni a területet a trapéz. Mivel a pSOD = PAOB, majd PABSD PBO + = PAOD + 2 * pSOD. A hasonlóság a háromszögek BOS és ANM következik, hogy BO / OD = √ (PBO / PAOD). Következésképpen, PBO / pSOD = BO / OD = √ (PBO / PAOD). Get pSOD = √ (* PBO PAOD). Ezután PABSD PBO + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBO *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

tulajdonságok hasonlósága

Folytatva ezt a témát, akkor lehet bizonyítani, és egyéb érdekes funkciók a trapéz. Tehát, segítségével a hasonlóság bizonyítani az ingatlan szegmens, amely áthalad a ponton által alkotott metszéspontja az átlók a geometriai alakzat, párhuzamos a talajjal. Ehhez oldja meg a következő probléma: szükség van, hogy megtalálják a hossza RK szegmens, amely átmegy a ponton O. A hasonlósága háromszögek ADP és SPU következik, hogy az AO / OS = AD / BS. A hasonlóság a háromszögek ADP és az ASB következik, hogy az AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS). Ez azt jelenti, hogy a BS * PO = AD / (AD + BC). Hasonlóképpen, a hasonlósága háromszögek MLC és ABR következik, hogy az OK * BP = BS / (BP + BS). Ez azt jelenti, hogy a OC és RC = RC = 2 * BS * AD / (AD + BC). Szegmens áthaladó metszéspontja az átlók az alappal párhuzamos, és összeköti a két fél, a metszéspont ketté. Hossza - a harmonikus közepe oka számok.

Tekintsük a következő jellemzőkkel trapéz, melynek neve tulajdonát négy pont. a metszéspontja az átlók (D), a kereszteződésekben a folytatása az oldalak (E), valamint a közepén bázisok (T és G) mindig fekszenek ugyanabban a sorban. Ez könnyű bizonyítani a hasonlóság módszer. Az így kapott háromszög hasonló BES és AED, és mindegyik tartalmaz egy medián ET és DLY osztja a csúcsszög E egyenlő arányban. Ennélfogva, az E. pontban, T és F egy egyenesbe esik. Hasonlóképpen, ugyanabban a sorban vannak elrendezve szempontjából T, O, és G. Ez következik a hasonlóság háromszögek BOS és ANM. Ezért arra a következtetésre jutottunk, hogy mind a négy kifejezések - E, T, O és F - fog feküdni egy egyenes vonal.

Használata hasonló trapéz, lehet a hallgatók számára, hogy megtalálják a hossza a szegmens (LF), amely elválasztja a szám két hasonló. Ez a vágás párhuzamos legyen a bázisok. Mivel a kapott trapéz ALFD LBSF és hasonló, a BS / LF = LF / AD. Ez azt jelenti, hogy az LF = √ (BS * BP). Arra a következtetésre jutottunk, hogy a szegmens, amely elválasztja a két trapéz, mint, van egy hossza megegyezik a geometriai átlag a hossza a bázisok alak.

Tekintsük a következő hasonlóság tulajdon. Ez alapján a szegmens, amely elválasztja a trapéz két egyenlő méretű darabokra. Fogadd el, hogy trapéz ABSD szegmens van osztva két hasonló EH. A felső B csökkentette a magassága, hogy a szegmens két részre oszlik HU - a B1 és B2. Beszerzése PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. További össze a rendszer, ahol az első egyenlet (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 és második (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Ebből következik, hogy a B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) és a BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Azt találjuk, hogy a hossza elosztjuk a trapéz két egyenlő, megegyezik az átlagos hossza a kvadratikus bázisok: √ ((CN2 + aq2) / 2).

hasonlóság következtetések

Így beláttuk, hogy:

1. A szegmens összekötő a közepén, a trapéz, a laterális oldalán, párhuzamosan a BP és a BS és BS a számtani átlag és a BP (bázis hosszúságú trapéz).

2. A bár ponton áthaladó O metszéspontja az átlók párhuzamos AD és BC egyenlő lesz a harmonikus közép számok a BP és a BS (2 * BS * AD / (AD + BC)).

3. A szegmens törés hasonló trapéz hossza mértani átlag bázisok BS és a BP.

4. Az elem, amely elválasztja a forma két egyenlő méretű, hossza négyzetes középérték számokat a BP és a BS.

Hogy megszilárdítsa az anyag és a tudatosság közötti kapcsolatok szegmensében a hallgató kell építeni azokat a speciális trapéz. Ő egyszerűen megnyithatja az átlagos vonal és a szegmens, amely áthalad a ponton - a kereszteződés az átlók a számok - a talajjal párhuzamosan. De hol lesz a harmadik és a negyedik? Ez a válasz vezet a hallgató, hogy a felfedezés az ismeretlen kapcsolat átlagértékei között.

Összekötő szakasz felezőpontja az átlók a trapéz

Tekintsük a következő tulajdonság az ábra. Elfogadjuk, hogy a szegmens MN párhuzamos a bázisok és ossza félbe átlósan. a metszéspont az úgynevezett W és S. Ez a szegmens egyenlő lesz különbség fele oka. Vizsgáljuk meg ezt részletesebben. MSH - az átlagos sorban a háromszög ABS, ez egyenlő a BS / 2. Minigap - a középső sor a háromszög DBA, ez egyenlő az AD / 2. Akkor azt találjuk, hogy SHSCH = minigap-MSH ezért SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

súlypont

Nézzük meg, hogyan határozza meg az elem egy adott geometriai alakzat. Ehhez ki kell terjesztenie a bázis az ellentétes irányba. Mit jelent ez? Meg kell adni az alaptól a felső alsó - bármelyik fél, például a jobb oldalon. Egy alacsonyabb meghosszabbítja a hossza a bal felső sarokban. Ezután csatlakoztassa az átlós. A metszéspontja e szegmens a középvonala a szám a tömegközéppont a trapéz.

Beírt és leírt trapéz

Nézzük a listát tartalmaz ilyen adatokat:

1. vonal rajzolható egy kört csak akkor, ha egyenlő szárú.

2. körbe lehet leírni, mint egy trapéz, feltéve, hogy az összeg a hossza alapjuk az összege az oldalainak hossza.

Következmények a beírt kör:

1. A magasság a trapéz leírt mindig kétszerese a sugár.

2. Az oldalon a trapéz leírt felől nézve van ábrázolva a kör középpontja a megfelelő szögben.

Az első következmény nyilvánvaló, és bizonyítani a második van szükség annak megállapítására, hogy a szög a SOD közvetlen, hogy van, sőt, még nem lesz könnyű. De a tudás az ingatlan lehetővé teszi, hogy egy derékszögű háromszöget, hogy megoldja a problémákat.

Most adja meg a következményeket az egyenlő szárú trapéz, ami bele van írva egy kört. Azt kapjuk, hogy a magassága a geometriai átlag ábra bázisok: H = 2R = √ (BS * BP). Teljesítése alapvető módszere problémák megoldására a trapézt (elve két magasságban), a hallgató meg kell oldani a következő feladatot. Fogadd el, hogy a BT - a magassága egyenlő szárú számok ABSD. Meg kell találni szakaszain AT és az AP. Képlet alkalmazásával a fent leírt, meg fog tenni nem nehéz.

Most nézzük hogyan határozza meg a kör sugara a leírt terület trapéz. Kihagytuk a felső B magassága a bázis BP. Mivel a beírható kör trapéz, a BS + 2AB = BP vagy AB = (BS + BP) / 2. A háromszög ABN lelet sinα = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Beszerzése PABSD = (BP + BS) * R, ebből következik, hogy R = PABSD / (AD + BC).

.

Minden képlet középvonalas trapéz

Most itt az ideje, hogy menjen az utolsó elem ezen geometriai alakzat. Mi meg fogja érteni, hogy mi a középső vonal a trapéz (M):

1. Keresztül bázisok: M = (A + B) / 2.

2. Miután a magasság, a bázis és a sarkok:

• M-H = A * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. keresztül magassága és ferde szögben közöttük. Például, D1 és D2 - átlós a trapéz; α, β - a köztük lévő szög:

M = D1 * D2 * sinα / 2 H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. területen belül és magasság: M = R / N.