Párhuzamos vonalak a síkban és az űrben

Egy síkban a vonalak párhuzamosnak hívhatók, ha nem rendelkeznek közös pontokkal, vagyis nem metszenek egymással. A párhuzamosság jelöléséhez használja a speciális ikont (Párhuzamos vonalak a || b).

Az űrben fekvő egyenes vonalak esetében a közös pontok hiányára vonatkozó követelmények nem elegendők - úgy, hogy párhuzamosak az űrben, ugyanazon síkra kell vonatkozniuk (különben egymás után).

Nem szükséges messze meghaladni a párhuzamos egyenes vonalak példáját, mindannyian kíséri a helyiségben - ezek a fal és a mennyezet metszésvonalai, a tetrális lapon - szemben a szélekkel stb.

Nyilvánvaló, hogy két egyenes és egy harmadik egyenes párhuzamossága párhuzamos az első kettő egyikével, párhuzamos lesz, a második pedig párhuzamos.

A síkon lévő párhuzamos vonalak olyan állítással függnek össze, amelyet nem lehet a planimetriai axiómák segítségével bizonyítani. Tény, mint axióma: minden olyan pontnál, amelyen egy sík nem fekszik egyenes vonalban, egyetlen egyenes vonal van, amely áthalad rajta az adott egyvelettel. Minden hatodik osztályozó ismeri ezt az axiómát.

Területi generalizációja, vagyis az a kijelentés, hogy minden olyan térbeli pontra, amely nem fekszik egyenes vonal mentén, van egy egyedi egyenes, amely párhuzamosan halad egy adott egyénnel, könnyen bizonyítható a párhuzamosság axiómájának segítségével, amelyet már ismertünk a síkon.

A párhuzamos vonalak tulajdonságai

• Ha a párhuzamos két egyenes egyike párhuzamos a harmadikval, akkor kölcsönösen párhuzamosak.

Ez a tulajdonság mind a síkban, mind a térben párhuzamos vonalakkal rendelkezik.
Példaként vegyük fontolóra a sztereometria igazolását.

Tegyük fel, hogy a b és b vonalak párhuzamosak a.

Az a helyzet, amikor az összes vonal azonos síkban fekszik, hagyja el a tervméretet.

Tegyük fel, hogy a és b a betta síkhoz tartoznak, és a gamma síkhoz, amelyhez a és c tartozik (az űrben lévő párhuzamosság meghatározása szerint a vonalaknak ugyanazon síkhoz kell tartoznia).

Feltételezve, hogy a betta és a gamma síkok eltérnek, és a B pontot a Betta síkban lévő b vonallal jelölik, a B ponton áthaladó sík és a c vonal egyenes vonal mentén metszi a betta síkját (b1 jelöli).

Ha a kapott egyenes vonal átmegy a gamma síkon, akkor egyrészt a metszéspontnak egy a, mert a b1 a betta síkhoz tartozik, másrészt c-nek kell lennie, mivel b1 a harmadik síkhoz tartozik.
De valójában az a és c párhuzamos vonalak nem metszenek egymással.

Így a b1 vonalnak a betta síkhoz kell tartoznia, és nincsenek közös pontjai, ezért a párhuzamosság axiómája szerint ez egybeesik a b.
Egy b1 vonalat kaptunk, amely egybeesik a b egyenes vonallal, amely ugyanazon síkhoz tartozik a c egyenes vonalával, és nem metszi, azaz b és c párhuzamos

• Olyan ponton keresztül, amely nem egy adott vonalon fekszik, csak egy vonal haladhat egy adott vonalhoz párhuzamosan.

• A harmadik két egyenesre merőleges síkban fekvő párhuzamos.

• Tekintettel az egyik párhuzamos két egyenes síkjának metszéspontjára, ugyanaz a sík metszi a második egyenes vonalat.

• A párhuzamos két egyenes harmad metszéspontjával azonos és egymásba eső belső szögek egyenlők, a kapott belső egyoldalúak összege 180 °.

Az is igaz, hogy a két vonal párhuzamosságának jelei között egymásnak ellentmondó állítások tekinthetők.

A vonalak párhuzamosságának feltétele

A fent megfogalmazott tulajdonságok és jellemzők az egyenes vonalak párhuzamosságának feltételei, és geometriai módszerekkel teljesen bizonyíthatók. Más szóval, két meglévő vonal párhuzamosságának bizonyításához elegendő bizonyítani a harmadik egyenes vonalának párhuzamosságát, vagy a szögek egyenlőségét, akár megfelelő, akár keresztben stb.

A bizonyítás érdekében leginkább az "ellentmondásos" módszert alkalmazzuk, azaz feltételezve, hogy a vonalak nem párhuzamosak. Ebből a feltételezésből könnyen megmutatható, hogy ebben az esetben az adott körülmények sérülnek, például a keresztirányú belső szögek egyenlőtlenül bizonyulnak, ami bizonyítja a feltételezés helytelenségét.