Fourier sorozat: a történelem és a befolyása a matematikai mechanizmus a tudomány fejlődése

Fourier-sor - ezt a nézetet önkényesen kiválasztott funkciók az időszak egy sorban. Általánosságban elmondható, hogy ez a megoldás az úgynevezett tágulási elem ortogonális bázisa. A bővítés a funkciók Fourier elég hatékony eszköz a különböző problémák megoldásában mutatott tulajdonságainak köszönhetően az átalakulás az integráció, differenciálás, valamint a váltás az érv kifejezés és konvolúció.

Olyan személy, aki nem ismeri a magasabb matematika, valamint a munkálatok a francia tudós, Fourier, valószínűleg nem fogja megérteni, amit a „ranglétrán” és mit csinálnak. Mégis ez az átalakulás nagyon határozottan lépett az életünket. Ez nem csak a matematika, hanem a fizikusok, vegyészek, orvosok, csillagászok, seismologists, oceanográfus és mások. Nézzük is, hogy egy közelebbi pillantást a művek a nagy francia tudós, aki felfedezte, megelőzte korát.

A férfi és a Fourier-transzformáció

Fourier-sor egyik módszerek (együtt elemzés és mások) a Fourier-transzformáció. Ez a folyamat zajlik minden alkalommal, amikor egy személy hallja a hangot. A fül automatikusan konvertálja a hanghullám. Rezgőmozgás elemi részecskék rugalmas közegben expandáljuk a sorozatban (a spektrum) egymást követő térfogat értékek hangok különböző magasságú. Ezután az agy átalakítja ezeket az adatokat ismerős hang számunkra. Mindez amellett, hogy a vágy, vagy maga a tudat, de ahhoz, hogy megértsük a folyamatokat, amelyek több éve, hogy tanulmányozza a magasabb matematika.

Bővebben az Fourier-transzformáció

A Fourier-transzformációs végezhetjük analitikai, számok és egyéb módszerekkel. Fourier sorozat számmal eljárás bontására bármilyen rezgési folyamat - az óceán árapály és a hullámok a fény a napenergia ciklus (és egyéb csillagászati objektumok) aktivitását. Ezekkel a matematikai módszereket, lehetséges szétszedni a funkciót, ami bármely rezgési folyamat számos szinuszos összetevők, amik a minimum és maximum, és fordítva. A Fourier-transzformáció egy leíró függvény fázis és amplitúdó szinuszgörbe megfelelő egy adott frekvencián. Ez a folyamat lehet használni megoldása nagyon bonyolult egyenletek, amelyek leírják a dinamikus folyamatok játszódnak hatására hő, fény vagy elektromos energiát. Továbbá, a Fourier-megkülönböztetésére alkalmazott DC komponensek komplex hullám, amely lehetővé teszi, hogy helyesen értelmezze a kísérleti megfigyelések az orvostudomány, a kémia és a csillagászat.

történelmi adatok

Az alapító atyja ez az elmélet a francia matematikus Zhan Batist Zhozef Fure. Az ő neve később ezt az átalakulást már az úgynevezett. Kezdetben a tudósok használják a technikát, hogy tanulmányozza és ismertesse azokat a mechanizmusokat a hővezető - hőterjedés szilárd állapotban. Fourier azt javasolta, hogy a kezdeti szabálytalan eloszlás a termikus hullám bontható egyszerű szinuszos, amelyek mindegyike lesz a hőmérséklet minimum és maximum, valamint a fázis. Így minden egyes ilyen komponens mérendő a minimálistól a maximális és fordítva. A matematikai függvény, amely leírja a felső és alsó csúcsa a görbe, valamint a fázis az egyes harmonikus, az úgynevezett Fourier transzformáltja a hőmérséklet-eloszlás a kifejezés. A szerző az elmélet csökkentette az általános eloszlás, amelyet nehéz matematikai leírása, egy nagyon könnyen kezelhető, számos periodikus függvények a szinusz és koszinusz, az összeg, amely a kezdeti eloszlás.

Az elv az átalakítás és a kilátást a kortársak

A kortársak a tudós - a vezető matematikusok a tizenkilencedik század elején - nem fogadta el ezt az elméletet. A fő kifogás elfogadása volt Fourier, hogy a nem folytonos leíró függvény egy egyenes vonalú vagy görbe szakadt, leírható összegeként szinuszos kifejezések, amelyek a folyamatos. Példaként vegyünk egy „lépés” Heaviside: az értéke zérus balra a különbség, és egy a jobb oldalon. Ez a függvény írja le a függőség villamos áram az idő változó lezárására lánc. Kortárs elmélet abban az időben, még soha nem találkozott ilyen helyzetben, amikor a folytonos kifejezése lenne leírható kombinációja folyamatos, közös funkciók, mint az exponenciális, szinusz, lineáris, vagy másodfokú.

Mi zavarta a francia matematikusok elmélet Fourier?

Elvégre, ha egy matematikus jogosan érvelnek, akkor összegezve egy végtelen trigonometrikus Fourier ez lehetséges pontos ábrázolása a lépést a kifejezés, akkor is, ha van egy sor hasonló lépéseket. A tizenkilencedik század elején, ez a kijelentés, abszurdnak tűnt. De annak ellenére, minden kétség, sok matematikus kibővítették a tanulmány ezt a jelenséget, mozgó túl a hővezetés tanulmányokat. Azonban a legtöbb tudós továbbra is szenvednek a kérdést: „Lehet az összeg a szinuszhullám sorozat konvergál a pontos érték egy folytonos függvény?”

Konvergencia Fourier-sor: például

A kérdés a konvergencia emelkedik minden alkalommal meg kell az összegzése végtelen számsorozat. fontolja meg egy klasszikus példája a megértéséhez ezt a jelenséget. Tud elérnék a falat, ha minden egyes lépés a fele az előző? Tegyük fel, hogy két méterre a cél, az első lépéssel közelebb körül félúton, a következő - a jel háromnegyedes, és az ötödik, akkor leküzdeni közel 97 százaléka az utat. Nem számít azonban, hogy hány lépést tettél sem, ebben az esetben célja elérni a szigorú matematikai értelemben. Numerikus számítások tudjuk bizonyítani, hogy a végén közelebb lehet tetszőlegesen kicsi távolság. Ez egyenértékű bizonyíték igazolja, hogy a teljes értékű felét, a negyedik és így tovább. E. hajlamosak egységét.

A kérdés a konvergencia: a második eljövetele, vagy hangszer Lord Kelvin

Ismételten az a kérdés merült fel a század végén, amikor a Fourier próbálta használni megjósolni az intenzitás a Ebbs és folyik. Abban az időben, Lord Kelvin találták eszköz egy analóg számítógép, amely lehetővé tette a tengerészek haditengerészet és kereskedelmi flotta monitor egy természetes jelenség. Ez a mechanizmus meghatározott területén fázisai és amplitúdói a táblázat magassága az árapály és a megfelelő idő pillanatokban, gondosan mérve a kikötőben egész évben. Minden paraméter egy szinuszos komponens kifejezést dagály magassága és egyike volt a rendszeres alkatrészeket. A mérési eredmények vannak vezetve a számítástechnikai eszköz Lord Kelvin, szintetizáló görbe alapján várható magassága a víz függvényében a következő évben. Nagyon hamar, ezek görbéket fel a kikötők a világ.

És ha ez a folyamat megszakad folytonos függvény?

Abban az időben, úgy tűnt, hogy a készülék előre egy szökőár, sok eleme a számla lehet számítani nagyszámú fázisok és amplitúdók, és így pontosabb előrejelzést. Mindazonáltal kiderült, hogy ez a minta nem figyelhető meg olyan esetekben, amikor az árapály kifejezés, amely lehet szintetizálni, tartalmazott egy éles ugrás, hogy van, nem folytonosak. Abban az esetben, ha a készülék be adatokat egy táblázatban időpontokban kiszámítja néhány Fourier-együtthatók. Helyreállítása az eredeti funkciót miatt a szinuszos komponens (összhangban a talált együtthatók). Az eltérés az eredeti és a rekonstruált kifejezést mérhető bármely pontján. Ha az ismétlési számítások és összehasonlítások is látható, hogy az érték a legnagyobb hiba nem csökken. Azonban, ezek lokalizáltak a régióban megfelelő szakadási pontig, és bármely más ponton általában nulla. 1899-ben, ez az eredmény megerősítette elméletileg Joshua Willard Gibbs, a Yale Egyetemen.

Konvergencia Fourier-sor és a matematika fejlődése egészének

Fourier analízis nem vonatkozik kifejezéseket tartalmazó végtelen számú robban egy bizonyos intervallumban. Általában Fourier, ha az eredeti funkció miatt az eredmény, a tényleges fizikai mérések, mindig találkozik. Kérdések konvergencia e folyamat konkrét műveleti osztályok vezettek új ágak matematika, mint az elmélet általános funkciókat. Ez jár a nevek, mint Schwartz, J .. Mikusiński J. Temple. Az ezt az elméletet, egy világos és pontos elméleti alapját az ilyen expressziós jött létre, mint a Dirac-delta (írja le a régióban egy egységes területalapú, koncentráljuk infinitezimális pont szomszédságában) és a „lépés” Heaviside. E munka Fourier alkalmassá vált egyenletek megoldására és a problémák, amelyek magukban foglalják intuitív fogalmak: ponttöltés pontja tömeg, mágneses dipólus és a koncentrált terhelés a fény.

Fourier módszer

Fourier, a elveivel összhangban a beavatkozás, kezdődik a bomlás komplex formákat egyszerűbb. Például egy változás a hőáramlás miatt a áthaladás a különböző akadályok a hőszigetelő anyag szabálytalan alakú, vagy a változó talajfelszín - egy földrengés, a változás a pályára a égitest - a befolyása a bolygók. Általában ezek a leíró egyenletek egyszerű klasszikus rendszer elemi megoldott minden egyes hullámhosszon. Fourier azt mutatja, hogy az egyszerű megoldások lehet összefoglalni a bonyolultabb feladatokat. A matematika nyelvén, Fourier - módszertani benyújtásának kifejezést összege harmonikus - koszinusz és szinusz hullámok. Ezért ez az elemzés is ismert név alatt „harmonikus analízis”.

Fourier sorozat - ideális módszer a „számítógép kora”

Létrehozása előtt számítástechnikai Fourier módszer a legjobb fegyver az Arsenal dolgozó tudósok a hullám természete világunkat. Fourier-sor komplex formában lehetővé teszi, hogy ne csak megoldani egyszerű problémákat, amelyek alkalmasak a közvetlen alkalmazására Newton mechanika, hanem alapvető egyenleteket. A legtöbb felfedezések newtoni tudomány a tizenkilencedik század volt csak lehetséges, mivel a Fourier módszerrel.

Fourier-sor ma

A fejlesztés a Fourier-transzformáció számítógépek emelkedett egy új szintre. Ezt a technikát szilárdan beépült szinte minden tudomány és a technológia. Példaként egy digitális audió és videó. Ennek végrehajtását tette lehetővé csak hála az elméletet fejlesztette ki a francia matematikus a tizenkilencedik század elején. Így a Fourier-komplex formában tette, hogy áttörést a tanulmány a világűrben. Ezen túlmenően, ez hatott a tanulmány a fizika félvezető anyagok és a plazma, mikrohullámú akusztika, oceanográfiai, radar, szeizmológiai.

Trigonometrikus Fourier-sor

A matematika, a Fourier-sor egyik módja képviselő önkényes összetett funkciók összegeként egyszerűbb. Általános esetben a kifejezésből lehet végtelen. Minél nagyobb a szám számít a számítás, annál pontosabb a végső eredményt kapunk. A leggyakoribb használata egyszerű trigonometrikus koszinusz vagy szinusz függvény. Ebben az esetben a Fourier hívják trigonometrikus, és a döntés az ilyen kifejezések - harmonikus bomlás. Ez a módszer fontos szerepet játszik a matematikában. Először is, a trigonometrikus sor eszközt biztosít a képet, valamint a tanulmány funkciók, ez a fő egysége az elmélet. Ezen kívül, lehetővé teszi számunkra, hogy megoldja a számos probléma a matematikai fizika. Végül ez az elmélet hozzájárultak a matematikai analízis, ez adott okot, hogy számos igen jelentős ága matematikai tudomány (elméleti integrálok, az elmélet periodikus függvények). Ezen túlmenően, a kiindulási pont az alábbi elméletek: készletek, funkciók egy valós változó, funkcionális elemzés, valamint megalapozta a harmonikus analízis.