Boole-algebra. matematikai logika. Elemei a matematikai logika

A mai világban egyre inkább a különböző gépek és modulokat. És nem csak akkor, amikor szükséges alkalmazni szó emberfeletti erő: a teher mozgatásához, hogy emelje meg a magasság, dig hosszú és mély árkot, stb autók ma gyűjteni robotok, főtt étel Multivarki és az elemi számtani számítások termelni számológépek ... Egyre gyakrabban halljuk a kifejezést „logikai algebra”. Talán eljött az ideje annak, hogy milyen szerepe van az emberi lények létrehozására robotok és gépek képesek megoldani nemcsak matematikai, hanem a logikai problémák.

logika

A görög logika - rendezett rendszert a gondolat, hogy létrehozza a kapcsolatot az adott körülmények között, és lehetővé teszi, hogy következtetéseket alapul feltételezések és becslések. Elég gyakran, kérünk egymástól: „Logikus” A válasz megerősíti feltevésünket, vagy bírálja a gondolatmenet. De a folyamat nem áll meg: mi továbbra is beszélni.

Előfordul, hogy a számos feltételnek (input) olyan nagy, és a köztük lévő kapcsolatot annyira zavaros és bonyolult, hogy az emberi agy nem képes „megemészteni” egyszerre. Lehet, hogy több mint egy hónapja (hét, év) a megértése, hogy mi történik. De a modern élet nem ad nekünk ezen időintervallumok döntéseket hozni. És mi igénybe a számítógép segítségével. És ez itt, hogy van egy algebra és a logika, a saját törvényei és tulajdonságait. A letöltés után az összes eredeti adatok, hagyjuk, hogy a számítógép felismerje az összes kapcsolatot, hogy kiküszöböljék az ellentmondásokat, és kielégítő megoldást találni.

Matematika és logika

Híres Gotfrid Vilgelm Leybnits fogalmazta „matematikai logika”, amely feladata volt könnyű megérteni csak egy kis kört a tudósok. Különösen érdekes az az irány nem okozott, és a közepén a XIX században a matematikai logika által ismert pár.

A nagy érdeklődés a tudományos közösség okozott vitát, amelyben az angol Dzhordzh Bul kinyilvánította szándékát, hogy létrehozza egy ága a matematika, amely nem semmi gyakorlati haszna. Mint tudjuk a történelemből, ebben az időben aktívan fejlődő ipari termelés, dolgoztunk mindenféle kiegészítő berendezések, t. E. A tudományos felfedezések volna gyakorlati orientáció.

Ami a jövőt illeti, azt mondjuk, hogy egy logikai algebra - a leggyakrabban használt a mai világban része a matematika. Tehát az érv Buhl elveszett.

Dzhordzh Bul

A személyiség a szerző külön figyelmet érdemel. Még tekintettel arra, hogy a múltban az emberek nőtt fel előttünk, még mindig meg kell jegyezni, hogy a 16 éves John. Buhl tanított a falusi iskolában, és a 20 éves megnyitotta saját iskolát Lincoln. Matematikus tökéletesen elsajátította öt idegen nyelven, és a szabadidejében, olvasta műveit Newton és Lagrange. És mindez - egy közönséges munkás fia!

1839-Buhl elküldte első tudományos közlemény a Cambridge Mathematical Journal. Scientist fordult 24 éves. Boole munkáját annyira érdekelt tagjai a Royal Society 1844-ben megkapta a kitüntetést az ő hozzájárulása a fejlesztési matematikai analízis. Néhány publikációt, amelyben az elemek a matematikai logika, matematika tette a fiatal ahhoz, hogy a poszt professzor a College Cork megyei írták le. Emlékezzünk vissza, hogy a nagyon Boole oktatás nem volt.

gondolat

Elvileg Boole algebra nagyon egyszerű. Vannak nyilatkozatok (logikai kifejezés), hogy a szempontból a matematika, csak meghatározott két szó: „true” vagy „false”. Például fák tavasszal virágzik - az igazság, a nyáron havazik - hazugság. A matematika szépsége az, hogy ez nem feltétlenül szükséges, hogy csak számokat. Az algebra értékelések egészen illik minden olyan kijelentést, egyedi jelentését.

Így a matematikai logika lehet használni szó mindenütt: az ütemezés és írásban utasítást, elemzés ellentmondásos információk az eseményeket és a szekvencia meghatározását az intézkedéseket. A legfontosabb dolog -, hogy észre, hogy ez nem számít, hogyan határozzuk meg az igazság vagy a hamis állítások. Ezekből a „hogyan” és „miért” kell figyelmen kívül hagyni. Ami számít, az csak egy ténymegállapítás: az igazság a hazugság.

Természetesen programozás legfontosabb funkciója, hogy a matematikai logika, amely rögzíti a megfelelő jeleket és szimbólumokat. És megtanulod őket - ez azt jelenti, hogy megtanulják az új idegen nyelvet. Semmi sem lehetetlen.

Alapfogalmak és meghatározások

Anélkül, hogy mélyreható dolgunk terminológiát. Tehát, Boole-algebra feltételezi:

• kimutatások;
• logikai műveletek;
• funkciók és a törvényeket.

Mondatok - bármely megerősítő kifejezés, amely lehet értelmezni két értékes. Meg vannak írva a számok (5> 3) vagy formálhatjuk ismerős szavak (elefánt - a legnagyobb emlős). Ebben az esetben az „A zsiráf nyaka nem” is joga van a létezésre, csak logikai algebra határozza meg, mint „a hazugság.”

Minden kijelentés egyértelműnek kell lennie, de lehet az alap vagy vegyület. A közelmúltbeli logikai csomagot. E. Az algebra kimutatások értékelések képződött vegyület hozzáadásával elemi logikai műveleteket.

Boole algebra műveletek

Már emlékszem, hogy a műveleteket az algebra ítéletek - logikus. Ahogyan az algebra a számok között a számtani műveletek összeadni, kivonni, vagy összehasonlítani a számokat, matematikai logika elemei lehetővé teszik, hogy a komplex kimutatások tagadni vagy kiszámításához a végeredményt.

Logikai műveletek a formalizációs és az egyszerűség kifejezve a képlet, ismerős számunkra számtani. Tulajdonságai Boole algebra egyenletek lehetővé teszik, hogy rögzítse, és kiszámítja az ismeretlen. Logikai műveletek általában rögzített igazság táblázat. A elem határozza meg az oszlopok és a számítástechnika és ez a művelet végre rajtuk, és a sorok mutatják a számítások eredményeként.

Alap cselekvési logika

A leggyakoribb a Boole algebra műveletek tagadással (NOT) és a logikai AND és OR. Így lehetséges, hogy leírja gyakorlatilag az összes lépést algebra ítéletek. Azt vizsgálták részletesen mindhárom műveleteket.

A negáció (nem) alkalmaznak a csak az egyik eleme (operandus). Ezért a műveletet nevezzük egyoperandusú tagadás. Rögzíteni a „nem” az ilyen jelek: ¬A, A vagy A !. Táblázatos formában ez így néz ki:

A funkció tagadás jellemző ilyen nyilatkozat: ha A igaz, akkor A - hamis. Például a Hold kering a Föld körül - az igazság; Föld kering a Hold körül - egy hazugság.

Logikai szorzás és összeadás

Logikai ÉS műveletet nevezzük összefüggésben. Mit jelent ez? Először is, hogy lehet alkalmazni a két operandust, azaz I - .. művelet. Másodszor, ez csak abban az esetben az igazság mindkét operandus (A és B) igaz, és magát a kifejezést. A közmondás, „A türelem és egy kis erőfeszítés” azt jelenti, hogy csak a két tényező segíthet egy személy megbirkózni a nehézségekkel.

szimbólumokat használunk felvétel: A∧B, A⋅B vagy A && B.

Együttállás hasonló szorzással számtani. Néha, és azt mondják - logikai szorzás. Ha megszorozzuk az elemek a táblázat sorait, megkapjuk az eredmény hasonló ahhoz a logikus gondolkodás.

Diszjunkciót egy logikai VAGY művelet. Igaz, ha legalább az egyik állítás igaz (A vagy B). Meg van írva, mint ez: A∨B, A + B vagy A || B. Az igazság táblázat ezek a műveletek:

Diszjunkciót hasonló számtani mellett. logikai összeadást csak egy korlátozás: 1 + 1 = 1. De ne feledjük, hogy a digitális formátumban van korlátozva matematikai logika 0 és 1 (ahol az 1 - az igazság, 0 - hamis). Például a nyilatkozat „a múzeumban látható egy remekmű, vagy talál egy jó társaság” kifejezés, amit láthatunk, műalkotások, és lehetőség van arra, hogy megfeleljen egy érdekes ember. Ugyanakkor, nem zárja ki annak lehetőségét, egyidejűleg teljesülnek a két esemény.

Funkciók és törvények

Tehát, már tudjuk, hogy mi a logikai művelet Boole algebra. Funkciók leírni az összes elemek tulajdonságai a matematikai logika, és lehetővé teszi számunkra, hogy egyszerűsítse bonyolult összetett utasításokat. A leginkább egyértelmű és egyszerű tűnik elutasítása tulajdonsága a származékos műveletek. A származékokat értjük XOR, vonatkozások és az egyenértékűség. Ahogy elolvasta csak az alap műveleteket, majd az ingatlan is csak tartják őket.

Asszociativitás azt jelenti, hogy a kijelentések, mint „A és B, és B„sorrendben felsorolja a operandusok nem számít. A képlet van írva a következő:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Mint látható, ez nem egyedülálló a kötőszó, hanem a szétválás.

Kommutativitás azt állítja, hogy az eredmény a kötőszó vagy diszjunkció nem függ melyik elem tartották az elején:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Disztributivitás teszi közzé zárójelben az összetett logikai kifejezések. Szabályok hasonlóak a nyitó zárójel a szorzás és összeadás algebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Egység tulajdonságokat és jobb karcolás, amely lehet az egyik operandusa is hasonló az algebrai szorzás nulla vagy egy, és felül egy egység:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotencia elmondja, hogy ha viszonylag két egyenlő operandus az eredmény a művelet ugyanaz, akkor „dobja” a felesleges bonyolítják érvelés operandusok. És az összefüggésben és a szétválás műveletek idempotens.

B∧B = B; B∨B = B.

Beszerzési is lehetővé teszi számunkra, hogy egyszerűsítse az egyenletet. Felszívódás kimondja, hogy amikor a kifejezést alkalmazzák egy operandust, más műveletet azonos eleme az eredmény operandus szűkítő műveletben.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

műveletek sorrendjét

A műveletek sorrendje nagyon fontos. Valójában, mivel az algebra, van egy prioritás funkció, amely egy logikai algebra. Képletek lehet egyszerűsíteni csak azzal a jelentősége a műveleteket. Rangsor a legjelentősebb, hogy elhanyagolható, megkapjuk a következő sorrendben:

1. Tagadás.

2. együttállás.

3. A diszjunkció, XOR.

4. A következmény, egyenértékűségét.

Mint látható, csak a tagadás összefüggésben, és nem egyenlő prioritást. A prioritás a diszjunkciót és XOR egyenlő, valamint a prioritások vonatkozások és az egyenértékűség.

Funkciói vonatkozások és az egyenértékűség

Mint már mondottuk, amellett, hogy az alapvető logikai műveletek, matematikai logika és elmélet algoritmusokat származékok. Ez leggyakrabban a következménye és az egyenértékűség.

A következmény vagy logikus következménye - ezt a kijelentést, amelyben egy akció feltétele, és a többi - az eredmény annak végrehajtását. Más szóval, ez a javaslat az ürügyén „ha ... akkor”. „Vacsora után jön a leszámolás.” E. meghajtásához kell meghúzni a szán hegyen. Ha nincs vágy, hogy lefelé a hegyről, majd húzza a szán nem szükséges. Íródott, így: A → B vagy A⇒B.

Ekvivalencia azt jelenti, hogy a nettó hatás csak akkor, amikor mindkét operandusa igaz. Például éjszaka utat ad a napon, akkor (és csak akkor), amikor felkel a nap a horizont felett. A nyelv a matematikai logika ez az állítás van írva, mint A≡B, A⇔B, A == B.

Más törvények Boole algebra

Algebra ítélet alakul, és sok érdeklődő tudósok olyan új, a törvényeket. A legismertebb tartják feltételezi, skót matematikus, O. De Morgan. Észrevette, és adott egy meghatározását olyan tulajdonságokat, mint közeli tagadás, kívül és dupla negatív.

Bezárása megtagadása azt sugallja, hogy mielőtt a zárójel nem tagadja: nem (A vagy B) = nem A vagy B NEM

Ha az operandus tagadta, függetlenül annak értékét, mondjuk továbbá:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

És végül, a kettős tagadás maga kompenzálja. Ie mielőtt bármelyik operandus tagadása eltűnik, vagy továbbra is csak egy.

Hogyan lehet megoldani tesztek

Logic magában egyszerűsítés előre meghatározott egyenletek. Csakúgy, mint a Lie-algebra, szükséges, hogy maximálisan megkönnyítsék első feltétel (megszabadulni a komplikált beviteli műveletek, és velük együtt), majd kezdeni egy helyes válasz.

Mit kell tenni, hogy egyszerűsítse? Megtérít minden származékok egy egyszerű művelet. Majd feltárja a konzolok (vagy fordítva, hogy a zárójelben, hogy csökkentse ezt az elemet). A következő lépés az, hogy használni Boole algebra tulajdonságok a gyakorlatban (abszorpciós tulajdonságok nulla és egy, és t.).

Végső soron, az egyenlet kell állnia egy minimális számú ismeretlenek, kombinálva egyszerű műveletek. A legegyszerűbb módja annak, hogy keresni a megoldást, ha egy nagyszámú közel negatívok. Akkor a válasz jelenik meg, mintha magától.