Alapfogalmak valószínűségszámítás. A törvények valószínűségszámítás

Sokan, amikor szembesült azzal a gondolattal „valószínűségszámítás”, ijedt, azt gondolva, hogy ez valami elviselhetetlen, nagyon nehéz. De ez valójában nem annyira tragikus. Ma megnézzük az alapfogalmak a valószínűségszámítás, megtanulják megoldani a problémákat, konkrét példákkal.

tudomány

Mi tanul egy ága a matematika, mint a „valószínűségszámítás”? Megállapítja minták véletlenszerű események és változók. Ez az első alkalom a kérdés Aggódó Tudósok a tizennyolcadik században, amikor vizsgálták szerencsejáték. Alapfogalmak valószínűségszámítás - esemény. Ez olyan tény, mely által megadott tapasztalat vagy megfigyelés. De mi a tapasztalat? Egy másik alapvető koncepciója az elmélet a valószínűség. Ez azt jelenti, hogy ez a része a körülmények nem véletlenül teremtett, és a célra. Ami a felügyelet, ott van a kutató maga nem vesz részt a tapasztalat, hanem egyszerűen egy tanú ezekre az eseményekre, hogy az nincs hatással, hogy mi történik.

események

Megtudtuk, hogy az alapvető koncepciója az elmélet a valószínűség - az esemény, de nem tartotta besorolás. Mindegyikük vannak osztva az alábbi kategóriákban:

• Megbízható.
• Lehetetlen.
• Véletlen.

Nem számít, milyen az esemény, amely figyeli, vagy létre a kísérlet során, azokat érintette ez a minősítés. Kínálunk minden típusú találkozik külön-külön.

bizonyos esemény

Ez a tény, amelyre, hogy a szükséges tevékenységek sorozata. Annak érdekében, hogy jobban megértsék a lényegét, akkor jobb, ha néhány példát. Ez alá van rendelve a jog és a fizika, a kémia, a gazdaság és a magasabb matematika. valószínűségszámítás tartalmaz olyan fontos fogalom, mint egy jelentős esemény. Íme néhány példa:

• Dolgozunk és kapnak díjazást a bér formájában.
• Nos, a vizsgák, eltelt egy verseny, hogy megkapja a javadalmazás formájában belépő egy oktatási intézmény.
• Fektettünk a pénz a bankban, hogy vissza, ha szükséges.

Az ilyen események igazak. Ha már eleget a szükséges feltételeket, biztos, hogy a várt eredményt.

lehetetlen esemény

Most úgy véljük, az elemek az elmélet a valószínűség. Kínálunk menni a magyarázatokat a következő típusú rendezvények - nevezetesen az lehetetlen. Elindításához határozni a legfontosabb szabály - a valószínűsége, hogy lehetetlen esemény nulla.

Ebből készítmény nem lehet eltérni a problémák megoldásában. Annak illusztrálására, példák az ilyen események:

• A víz hőmérsékleten fagyasztva plusz tíz (ez lehetetlen).
• Az nincs áram nem befolyásolja a termelés (mint lehetetlen, mint az előző példában).

További példákat nem szükséges, a fent leírt módon nagyon világosan tükrözik a lényege ebben a kategóriában. Lehetetlen esemény nem történik meg a kísérlet során semmilyen körülmények között.

véletlen események

Tanulmányozva az elemek valószínűségszámítás, különös figyelmet kell fordítani az adott esemény típusát. Ezek azok, tanulmányozza a tudomány. Ennek eredményeként a tapasztalat valami megtörténhet, vagy sem. Ezen túlmenően a vizsgálat korlátlan számú alkalommal végezhetjük. A figyelemreméltó példák közé tartozik:

• Dobd az érme - ez egy élmény, vagy a vizsgálati, elvesztése egy sas - ezt az eseményt.
• Húzza a labdát a zsákból vakon - vizsgálat, elfogták piros labda - ez az esemény, és így tovább.

Az ilyen példák lehet korlátlan számú, de általában, kell érteni. Összefoglalva és rendszerezni a megszerzett tudás az eseményekről egy asztalhoz. valószínűségszámítás vizsgálatok csak az utóbbi típusú valamennyi bemutatott.

törvények

Valószínűségszámítás - a kutató tudomány elvesztésének a lehetőségét mindenképpen. Mint a többiek, van néhány szabályt. A következő törvényeket valószínűségszámítás:

• A konvergencia-szekvenciák valószínűségi változók.
• A nagy számok törvénye.

Kiszámításakor a lehetőségét, hogy egy komplex felhasználható komplex egyszerű események eredményeket elérni egyszerűbb és gyorsabb. Meg kell jegyezni, hogy a törvények valószínűségszámítás segítségével könnyen bizonyítható a segítségével néhány tételek. Javasoljuk, hogy elkezd megismerkedni az első törvény.

A konvergencia-szekvenciák véletlen változók

Megjegyezzük, hogy a konvergencia többféle:

• A sorozat valószínűségi változók konvergencia a valószínűsége.
• Szinte lehetetlen.
• RMS konvergencia.
• Konvergencia az elosztásban.

Tehát menet közben, ez nagyon nehéz megérteni a lényegét. Íme definíciók, amely segít megérteni a témát. Először is az első látásra. A szekvencia az úgynevezett konvergencia valószínűsége, ha az alábbi feltételek: n végtelenhez közelít, a keresett számnak a szekvencia által nagyobb, mint nulla, és a készülék közelében.

Ugrás a következő nézetet, szinte biztosan. Azt mondják, hogy a sorozat konvergál szinte biztosan, hogy egy valószínűségi változó n hajló végtelenbe, és R, hajlamos az érték közel van egyhez.

A következő típus - a konvergencia RMS. Amikor az SC-learning konvergenciája vektor véletlenszerű folyamatok csökkenti a tanulmány random koordináta folyamatokat.

Volt az utolsó típus, nézzük meg röviden, hogy közvetlenül a megoldás a problémákra. Konvergencia az elosztó másik nevet - „gyenge”, akkor miért. Gyenge konvergencia - a konvergencia az eloszlás függvények minden pontján folytonosság a határ eloszlásfüggvény.

Ügyeljen arra, hogy az ígéret: gyenge konvergenciája eltér a fenti, hogy a véletlen változó nincs definiálva a valószínűségi mező. Ez azért lehetséges, mert a feltétel van kialakítva kizárólag a forgalmazási feladatokat.

A nagy számok törvénye

Nagy segítője a bizonyítéka lesz a törvény tételei valószínűségszámítás, mint például:

• Csebisev egyenlőtlenség.
• Csebisev-tétel.
• Generalizált Chebyshev tétel.
• Markov-tétel.

Ha figyelembe vesszük ezeket a tételeket, akkor a probléma lehet, hogy több tíz lap. Megvan a fő feladat - az alkalmazás a valószínűség elmélet a gyakorlatban. Nálunk most, és csinálni. De mielőtt fontolóra az axiómák valószínűségszámítás, ezek kulcsfontosságú partnerek problémák megoldásában.

axiómák

Az első, már láttuk, ha beszélünk a lehetetlen esemény. Emlékezzünk: a valószínűsége, hogy lehetetlen esemény nulla. Példánkban adott egy nagyon élénk és emlékezetes: a hó esett egy levegő hőmérséklete harminc fok.

A második a következő: egy bizonyos esemény bekövetkezik valószínűséggel egységét. Most megmutatjuk, hogyan írják segítségével matematikai nyelv: P (B) = 1.

Harmadik: Egy véletlen esemény történik, vagy nem, de a lehetőség mindig nullától egy. Minél közelebb van az egység, annál nagyobb az esély; ha az érték közel van a nullához, a valószínűsége nagyon alacsony. Írunk ezt a matematika nyelvén: 0

Tekintsük az utolsó, negyedik axióma, azaz: az összeg a valószínűsége két esemény egyenlő összegével valószínűségek. Írja matematikai kifejezések: P (A + B) = P (A) + P (B).

Az axiómák valószínűségszámítás - ez egy egyszerű szabály, hogy nem lesz nehéz megjegyezni. Próbáljuk megoldani bizonyos problémákat alapján már megszerzett tudás.

sorsjegy

Először is, úgy a legegyszerűbb példa - egy lottó. Képzeld el, hogy vettem egy lottószelvényt szerencsét. Mi a valószínűsége annak, hogy nyerünk, legalább húsz rubelt? Összesen forgalomban részt vesz ezer jegyet, amelyek közül az egyik egy díjat ötszáz rubelt, 1000 rubelt, húsz és ötven rubelt, és a 100-5. A feladat az elmélet a valószínűség alapján, hogyan kell megtalálni a módját, hogy szerencse. Most együtt elemezzük a döntés felett Feladatok kilátás.

Ha mi jelöljük A díjat ötszáz rubelt, majd a valószínűsége, hogy egy egyenlő 0,001. Hogyan jutunk? Csak kell a szám a „szerencsés” jegyek osztva az összes számát (ebben az esetben: 1/1000).

A - a nyereség száz rubelt, a valószínűsége lesz egyenlő 0,01. Most jártak el, ugyanúgy, mint az utolsó akció (10/1000)

C - végeredmény húsz rubelt. Mennyi a valószínűsége, hogy ez egyenlő, mint 0,05.

A többi jegy nem vagyunk érdekeltek, mint a nyeremény kisebb meghatározott feltétel. Alkalmazni egy negyedik axióma: a valószínűsége, győztes legalább húsz rubelt jelentése P (A) + P (B) + P (C). A P betű jelöli a valószínűsége eredete az esemény, amit az előző részben már megtalálta őket. Továbbra is csak a meghatározza azokat a szükséges adatokat, a válasz megkapjuk 0,061. Ez a szám lesz a válasz arra a kérdésre, munkahelyeket.

pakli kártya

Problémák a valószínűségszámítás, ott is bonyolultabb, például, hogy a következő feladatot. Mielőtt pakli harminchat kártyákat. Az Ön feladata -, hogy dolgozzon a két kártya egy sorban, keverés nélkül halom, az első és a második lapot kell ász, színe nem számít.

Kezdeni, annak a valószínűsége, hogy az első lapja ász, ezt osszuk el a négy és harminchat. Félretette. Kapunk egy második lapja ász a valószínűsége, 335.. Annak a valószínűsége, a második esemény függ, hogy melyik kártya kihúztuk az elsőt, mi érdekli, ez volt az ász, vagy sem. Ebből következik, hogy abban az esetben attól függ, hogy az esemény A.

A következő lépés találunk a valószínűsége egyidejű végrehajtása, azaz a többszörösen A és B Munkájuk a következő: a valószínűsége egy eseményt szorozva a feltételes valószínűség másik számolunk, feltételezve, hogy az első esemény történt, azaz az első kártya szedtünk egy ász.

Ahhoz, hogy minden világos, hogy az olyan elnevezés elem a feltételes valószínűsége az esemény. Úgy kell kiszámítani, feltételezve, hogy A esemény történt. Ez a következőképpen számítjuk ki: P (B / A).

Mi kiterjeszteni a megoldást a problémára: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) vagy a P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). A valószínűség (4/36) _* ((3/35) / (4/36) kiszámítása kerekítés a legközelebbi századik Van: .. 0,11 _* (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. Annak a valószínűsége, hogy dolgozzon ki két ász egy sorban egyenlő 9/100. az érték nagyon kicsi, ebből következik, hogy a valószínűsége esemény előfordulása rendkívül alacsony.

elfelejtett szoba

Kínálunk kivenni néhány további lehetőséget a munkahelyek, hogy a tanulmányok az elmélet a valószínűség. Ilyen megoldásokat néhány azok láttad ezt a cikket, próbálja megoldani a következő problémát: A fiú elfelejtette a telefonszámot az utolsó számjegy barátja, de mivel a hívás nagyon fontos volt, akkor kezdett felvenni egymás után. Meg kell számítani a valószínűsége, hogy ő hívja legfeljebb három alkalommal. A legegyszerűbb megoldás a problémára, ha tudjuk, a szabályok, törvények és axiómák valószínűségszámítás.

Mielőtt látja a megoldást, próbálja megoldani a saját. Tudjuk, hogy ez utóbbi szám lehet nullától kilencig terjedő, összesen tíz értékeket. Valószínűségi pontszámot szükség van, 1/10.

Ezután meg kell vizsgálni lehetőségek eredetét az események, tegyük fel, hogy a fiú eltalálta és nyerte el a jogot a valószínűsége, hogy az ilyen események egyenlő 1/10. A második lehetőség: az első hívást csúszás, és a második cél. Kiszámítjuk a valószínűsége az ilyen események: 9/10 1/9 szorozva a végén megkapjuk a 1/10. A harmadik lehetőség: az első és a második hívás kiderült, hogy a rossz címre, csak a harmadik fiú volt, ahol csak akart. Számítsuk ki a valószínűsége az ilyen események: 9/10 szorozva 8/9 és 1/8, megkapjuk eredményeként 1/10. További lehetőségek azzal a feltétellel, a probléma nem vagyunk érdekeltek, ez továbbra is a számunkra, hogy meghatározza ezeket az eredményeket, a végén van egy 3/10. Válasz: Annak a valószínűsége, hogy egy fiú neveznék legfeljebb három alkalommal, egyenlő 0,3.

Kártyák számok

Mielőtt kilenc kártyák, melyek mindegyike írt számos egytől kilencig, a számok nem ismétlődnek. Raktak egy dobozba, és alaposan keverjük össze. Be kell számítani a valószínűsége, hogy a

• hengerelt páros szám;
• kétjegyű.

Mielőtt a döntést kikötik, hogy m - a szám a sikeres esetek, és n - az összes lehetőséget. Nézzük mi annak a valószínűsége, hogy a szám páros. Nem nehéz kiszámolni, hogy páros négy, és ez a mi m, mind a kilenc lehetséges opciókat, azaz m = 9. Majd a valószínűsége egyenlő 0,44 vagy 4/9.

Úgy véljük, a második esetben a variánsok száma kilenc, és a sikeres kimenetelét nem lehet egyáltalán, hogy van, m értéke nulla. Annak a valószínűsége, hogy a hosszúkás kártya tartalmazni fog egy kétjegyű szám, mint nulla.