A határozatlan integrál. Számítása határozatlan integrálok

Az egyik alapvető szakaszai a matematikai analízis az integrálszámítás. Ez magában foglalja egy nagyon széles területen tárgyak, ahol az első - ez a határozatlan integrál. Pozíció ez kiemelten fontos, hogy még a középiskolában feltárja egyre több kilátások és lehetőségek, amelyek leírják a magasabb matematika.

megjelenés

Első pillantásra úgy tűnik, teljesen integrált a modern, helyi, de a gyakorlatban kiderül, hogy ő jött vissza 1800 BC. Fő, hogy hivatalosan is tekinthető Egyiptomban nem ér el minket korábbi létezését alátámasztó bizonyíték. Ez miatt az információ hiánya, miközben elhelyezett egyszerűen egy jelenség. Ő ismét megerősíti a szintű tudományos fejlődés a népek akkoriban. Végül a munkálatok találtak az ókori görög matematikus, nyúlik a 4. században. Leírják az alkalmazott módszer, amikor a határozatlan integrál, amelynek lényege az volt, hogy a kötet egy terület vagy egy görbe alakú (háromdimenziós és kétdimenziós síkon, sorrendben). számítás alapja az az elv részlege az eredeti szám a végtelenül alkatrészek, feltéve, hogy a mennyiség (terület) már ismert számukra. Idővel a módszer nőtt, Archimedes használta, hogy megtalálják a terület egy parabola. Hasonló számítások ugyanakkor, hogy végezzen gyakorlatokat az ókori Kínában, ahol teljesen függetlenek voltak a görög fickó tudomány.

fejlesztés

A következő áttörés a XI században vált a munka az arab tudós „kocsi” Abu Ali al-Basri, aki eltolta a határokat a már ismert, származott az integrál kiszámítására szolgáló képletet összegeket az összegek és fokban az első-negyedik, alkalmazása erre az általunk ismert indukciós módszer.
Fejében a mai csodálták az ókori egyiptomiak létre a csodálatos műemlékek mindenféle speciális eszköz nélkül, kivéve, hogy a saját kezében, de nem hatalom őrült tudósok az idő nem kevesebb csoda? Összehasonlítva a mostani időkben életük úgy tűnik, szinte primitív, de a döntés a határozatlan integrálok levezetett mindenhol, amit a gyakorlatban a további fejlődéshez.

A következő lépés történt a XVI században, amikor az olasz matematikus Cavalieri hozott oszthatatlan módszer, amely felvette Per Ferma. Ez a két személyiség megalapozta a modern integrálszámítás, amely ismert az adott pillanatban. Elkapták a fogalmak differenciálódás és integráció, amit korábban látott, mint önálló egység. Nagyjából, a matematika akkori töredezett volt részecskék megállapítások léteznek önmagukban, korlátozott alkalmazása. Módja annak, hogy egyesítse, és közös nevezőre volt az egyetlen igaz abban a pillanatban, hála neki, a modern matematikai analízis volt lehetősége növekszik és fejlődik.

Az idő múlásával mindent megváltoztat, és a szerves szimbólum is. Nagyjából, hogy jelölték a tudósok, akik a maga módján, például Newton alkalmazott négyzetes ikon, amely véget integrálható függvény, vagy egyszerűen össze. Ez a különbség egészen a XVII században, amikor egy mérföldkő az egész elmélet matematikai analízis tudós Gotfrid Leybnits be egy ilyen jellegű ismerős számunkra. Hosszúkás „S” valójában alapul ez a levél a római ábécé, mivel jelöli összege primitívek. A név a szerves köszönhetően elért Jakob Bernoulli, 15 év után.

A hivatalos meghatározás

A határozatlan integrál függ a meghatározása a primitív, ezért úgy vélik, hogy az első helyen.

Primitív - az inverz függvény a származék, a gyakorlatban ez az úgynevezett primitív. Egyébként: primitív funkciója d - egy olyan funkció D, amely a származék v <=> V „= v. Keresés primitív számítani a határozatlan integrál, és maga a folyamat az úgynevezett integráció.

például:

A funkció s (y) = y ^3, és annak primitív S (Y) = (y ^4/4).

A készlet minden primitívek a funkció - ez egy határozatlan integrál, jelöljük a következőképpen: ∫v (x) dx.

Azáltal, hogy a V (x) - csak néhány primitív eredeti funkcióját, expressziós tartja: ∫v (x) dx = V (x) + C, ahol C - állandó. Az tetszőleges konstans kifejezés bármely állandó sebességgel, hiszen a derivált nulla.

tulajdonságok

A tulajdonságok birtokában a határozatlan integrál, alapvetően alapuló definíciója és tulajdonságai származékok.
Tekintsük a legfontosabb pontok:

• szerves származéka primitív primitív önmagában plusz egy tetszőleges konstans C <=> ∫V „(x) dx = V (x) + C;
• származékát az integrál egy függvény az eredeti funkció <=> (∫v (x) dx) „= v (x);
• konstans kivesszük a szerves jel <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, ahol k - önkényes;
• integráns, amely a vett összege a azonosan összegével egyenlő integrálok <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Az utolsó két tulajdonság lehet következtetni, hogy a határozatlan integrál lineáris. Ennek köszönhetően, van: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Ahhoz, hogy lásd a példákat a különböző rögzítési megoldások határozatlan integrálok.

Meg kell találni a szerves ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

A példa arra lehet következtetni, hogy nem tudják, hogyan kell megoldani határozatlan integrálok? Csak találni a primitívek! De a keresést alábbiakban tárgyalt elvek.

Módszerek és példák

Annak érdekében, hogy megoldja a szerves, akkor igénybe az alábbi módszerekkel:

• készen arra, hogy kihasználják a táblázat
• integráló részei által;
• integrált helyett a változó;
• összegezve jel alatt az eltérés.

asztalok

A legegyszerűbb és élvezetes módon. Abban a pillanatban, matematikai analízis büszkélkedhet meglehetősen kiterjedt táblázatokat, amely pontosan meghatározta az alapvető képlet határozatlan integrálok. Más szóval, vannak sablonok származó rajtad, és akkor csak kihasználják őket. Itt a lista a főtábla pozíciókat, amely megjelenik szinte minden esetben, van egy megoldás:

• ∫0dy = C, ahol C - állandó;
• ∫dy = y + C, ahol C - állandó;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, ahol C - állandó, és n - eltér egységét;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, ahol C - állandó;
• ^{∫e y dy = E y + C} , ahol C - állandó;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln K) + C, ahol C - állandó;
• ∫cosydy = siny + C, ahol C - állandó;
• ∫sinydy = Hangulatos + C, ahol C - állandó;
• ∫dy / cos ² y = TGY + C, ahol C - állandó;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, ahol C - állandó;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, ahol C - állandó;
• ∫chydy = félénk + C, ahol C - állandó;
• ∫shydy = Chy + C, ahol C - állandó.

Ha szükséges, hogy egy pár lépcső vezet integrandus egy táblázatos nézet, és élvezze a győzelem. Példa: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

A határozat szerint egyértelmű, hogy például egy asztal integrandusz hiányzik szorzó 5. adjuk hozzá, ezzel párhuzamosan megszorozzuk 1/5 általános arckifejezése nem változott.

Integrálás

Tekintsük két funkció - z (y) és x (y). Meg kell folyamatosan differenciálható saját domain. Az egyik differenciálódás tulajdonságok van: d (XZ) = Xdz + ZDX. Integrálása mindkét oldalán, megkapjuk: ∫d (XZ) = ∫ (Xdz + ZDX) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Átírása a kapott egyenletet, megkapjuk a formula, amely leírja a módszert integrálás: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Miért van erre szükség? Az a tény, hogy néhány példát is lehet egyszerűsíteni, mondjuk, hogy csökkentse ∫zdx ∫xdz, ha az utóbbi közel van a táblázatos formában. Továbbá, ez a képlet használható többször, az optimális eredmény érdekében.

Hogyan lehet megoldani határozatlan integrálok ezt az utat:

• kiszámításához szükséges ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s DS = {z =} s + 1, dz = DS, y = 1 ^{/ 2E 2s, dy = e 2x} DS} = ((S + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• kell számítani ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, DZ = DS / s, y = s, dy = DS} = SLN - ∫s x DS / s = SLN - ∫ds = SLN -S + C = s (LNS-1) + C.

Cseréje változó

Ez az elv megoldásának határozatlan integrál nem kevesebb a kereslet, mint az előző kettő, mégis bonyolult. A módszer a következő: Legyen V (x) - a szerves néhány függvény v (x). Abban az esetben, önmagában szerves példa slozhnosochinenny jön, valószínűleg összezavarodnak, és menj le a rossz úton megoldásokat. Annak elkerülése érdekében, ez a gyakorlat változás a változó X-Z, ahol az általános kifejezés vizuálisan egyszerűsített, miközben a Z függően x.

Matematikai megfogalmazásban ez a következő: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y „(z) DZ = V (Z) = V (y -1 (x)), ahol x = y ( z) - helyettesítés. És, természetesen, az inverz függvény z = y ^-1 (x) teljesen leírja a kapcsolatot, és a kapcsolat a változók. Fontos - a differenciál dx szükségszerűen cserélni eltérés dz, mivel a változás változót a határozatlan integrál magában helyette mindenhol, nem csak az integrandus.

például:

• kell találni ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) ds

Alkalmazzuk a helyettesítési z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Ezután dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) DS = dz / 2. Ennek eredményeként a következő kifejezés, ami nagyon könnyen kiszámítható:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) DS = ∫ (DZ / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• meg kell találni a szerves ∫2 ^s e ^s dx

Hogy oldja meg a rewrite a következő formában:

^{∫2 s e s DS = ∫ (} 2e) s ds.

Jelöljük a = 2e (csere az érvelés ez a lépés nem, még mindig s), adjuk bonyolultnak tűnő szerves alapvető táblázatos formában:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s DS = a s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + LNE) + C = 2 ^s e ^s / (in2 + 1) + C.

Összefoglalva differenciális jel

Nagyjából ez a módszer a határozatlan integrál - ikertestvére az elvet a változás változó, de vannak különbségek a regisztrációs folyamat. Nézzük meg részletesebben.

Ha ∫v (x) dx = V (x) + C és y = z (x), majd ∫v (y) dy = V (y) + C.

Ugyanakkor nem szabad elfelejteni, a triviális szerves átalakítások, amelyek közül:

• dx = d (x + a), és ahol - minden egyes konstans;
• dx = (1 / a) d (ax + b), ahol a - állandó újra, de nem nulla;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Ha figyelembe vesszük az általános esetben, amikor kiszámítjuk a határozatlan integrál, példákat lehet belefoglalni az A általános képletű w „(x) dx = DW (x).

példák:

• kell találni ∫ (2s + 3) ² ds, DS = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -ln | Coss | + C.

Online segítség

Egyes esetekben a hiba, ami válhat, vagy lustaság, vagy sürgős szükség, akkor használja az online utasításokat, vagy inkább, hogy egy számológép határozatlan integrálok. Annak ellenére, hogy a látszólagos összetettsége és ellentmondásos jellege integrálok, a döntés rájuk vonatkozó speciális algoritmust, amely azon az elven alapul, hogy „ha nem ... akkor ...”.

Persze, egy különösen bonyolult példa egy ilyen kalkulátor nem mester, hiszen vannak esetek, amikor egy döntést, hogy megtalálják a mesterségesen „kénytelen” bevezetésével bizonyos elemei a folyamat, mert az eredmény nyilvánvaló módon elérni. Annak ellenére, hogy az ellentmondásos jellegét ez az állítás igaz, mint a matematika, elvileg egy absztrakt tudomány, és elsődleges célja szükségesnek tartja a felhatalmazza a határokat. Valóban, a sima futás az elméletek nagyon nehéz, hogy ki és fejlődnek, így nem feltételezik, hogy a példák megoldása határozatlan integrálok, amely adott nekünk - ez a magassága lehetőségeket. De térjünk vissza a technikai oldala. Legalábbis, hogy ellenőrizze a számításokat, akkor használja a szolgáltatást, amelyben azt írta nekünk. Ha szükség van az automatikus kiszámításához összetett kifejezések, akkor nem kell igénybe egy komolyabb szoftver. Kell figyelni, elsősorban a környezetre MatLab.

kérelem

A döntést a határozatlan integrál első pillantásra úgy tűnik, teljesen elszakadt a valóságtól, mert nehéz látni a nyilvánvaló felhasználását a gépet. Valóban, közvetlenül használja őket sehol nem lehet, de szükséges közbenső elem a folyamat visszavonása megoldások a gyakorlatban. Így az integráció vissza differenciálás, így aktívan részt vesz a folyamat egyenletek megoldására.
Viszont ezek az egyenletek közvetlen hatással a döntést a mechanikai problémák, röppálya kiszámítása és a hővezető - egyszóval mindent, ami képezi a jelen és a jövő formálásában. Határozatlan integrál, amelyek példái már úgy fent, csak triviális első pillantásra, mint a bázis elvégzésére egyre több az új felfedezések.