Russell-paradoxon: az alapvető információkat, példákkal, készítmény

A Russell-paradoxon két egymástól függő logikai antinomia.

A Russell Paradox két formája

A leggyakrabban tárgyalt forma az ellentmondás a készletek logikájában. Úgy tűnik, egyes készletek tagjai lehetnek maguknak és másoknak - nem. Az összes készlet halmaza maga is egy készlet, ezért úgy tűnik, hogy önmagára utal. Zéró vagy üres, de nem lehet tagja önmagának. Ezért az összes készlet halmaza, mint a nulla, nem lép be önmagába. A paradoxon felmerül annak kérdésében, hogy a készlet tagja-e önmagának. Ez akkor lehetséges, ha és csak akkor, ha nem így van.

A paradoxon egy másik formája ellentmondás a tulajdonságokkal kapcsolatban. Egyes tulajdonságok úgy tűnik, hogy magukhoz tartoznak, míg mások nem. Az ingatlan tulajdonsága önmagában tulajdon, míg a macska tulajdonának nem. Tekintsük azt a tulajdonságot, amelynek olyan tulajdonsága van, amely nem vonatkozik magára. Alkalmazható-e önmagára? Ismételtől fogva minden feltételezésből következik. A paradoxonot Bertrand Russell (1872-1970) után kapta, aki 1901-ben megnyitotta.

történet

Russell felfedezése a "Matematika alapelvei" című munkája során történt. Bár saját maga felfedezte a paradoxonokat, bizonyíték van arra, hogy más matematikusok és a halmazelmélet fejlesztői, köztük Ernst Zermelo és David Hilbert tudtak az előtte lévő ellentmondás első változatáról. Russell azonban elsőként tárgyalta a paradoxonot publikált műveiben, először megpróbálta megoldani a megoldásokat, és elsőként értékelte jelentőségét. Az "Alapelvek" egy teljes fejezetét a kérdés megvitatására szentelték, és a mellékletet a típuselméletnek szentelték, amelyet Russell megoldásként javasolt.

Russell felfedezte a "hazug paradoxon" -ot, figyelembe véve a Cantor tételét, hogy bármelyik készlet ereje kisebb, mint a részhalmazainak halmaza. Legalább egy tartományban kell lennie annyi alhálózatnak, mint amennyi elem van benne, ha minden egyes elemhez egy alhalmaz olyan elem, amely csak ezt az elemet tartalmazza. Emellett Cantor bebizonyította, hogy az elemek száma nem lehet egyenlő a részhalmazok számával. Ha azonos számmal rendelkeznének, akkor léteznie kell egy olyan ƒ függvénynek, amely az elemeket a részhalmazaikhoz rendeli. Ugyanakkor bizonyítható, hogy ez lehetetlen. Egyes elemek a ƒ függvényen megjeleníthetők azokon a részhalmazokon, amelyek tartalmazzák őket, míg mások nem.

Tekintsünk olyan elemek egy részhalmazát, amelyek nem tartoznak a képükhöz, és amelyekbe azokat leképezik. Maga az elemek egy részhalmaza, ezért a ƒ függvénynek meg kell jelölnie azt a tartomány egyes elemeire. A probléma az, hogy akkor felmerül a kérdés, hogy ez az elem tartozik-e annak a részhalmaznak, amelyre leképezik. Ez csak akkor lehetséges, ha nem tartozik. A Russell-paradoxon ugyanolyan érvelésnek tekinthető, csak egyszerűsítve. Mi több - készletek vagy részhalmazok? Úgy tűnik, hogy több készletre van szükség, mivel maguk a készletek minden részhalmaza készen állnak. De ha a Cantor-tétel igaz, akkor több alcsoportra van szükség. Russell a szettek legegyszerűbb feltérképezését vette figyelembe, és alkalmazta a kantori megközelítést, hogy megvizsgálja mindazon elemek halmazát, amelyek nem tartoznak azokhoz a készletekhez, amelyekbe leképezték őket. A Russell térkép minden olyan készletből áll, amely nem tartozik magához.

Hiba Frege

"A hazug hazugsága" paradoxonának mély következményei voltak a halmazelmélet történeti fejlődésére. Megmutatta, hogy az univerzális készlet koncepciója rendkívül problematikus. Kérdezte azt a gondolatot is, hogy minden meghatározott állapotra vagy predikátumra csak olyan dolgok létezését feltételezhetjük, amelyek kielégítik ezt a feltételt. A tulajdonságokkal kapcsolatos paradoxon változata - a verziók készletekkel való természetes folytatása - komoly kétségeket vetett fel arra vonatkozóan, hogy vajon lehetséges-e egy adott objektum objektív létezése, vagy az egyes meghatározott feltételek vagy predikátum egyetemes megfeleltetése.

Hamarosan ellentmondásokat és problémákat találtak azon logikusok, filozófusok és matematikusok munkájában, akik hasonló feltevéseket tettek. 1902-ben Russell felfedezte, hogy a paradoxon kifejeződik a Gottlob Frege I. kötetének "A számtani alapjai" című logikai rendszerben, amely a 19. és a 20. század elejének logikájának egyik fő alkotása. Frege filozófiájában a készletet egy koncepció "kiterjesztésé" vagy "értéktartományaként" értjük. A fogalmak a legközelebb állnak a tulajdonságokhoz. Feltételezik, hogy léteznek minden adott állapotban vagy predikátumban. Így van olyan koncepció, amely nem tartozik a meghatározó fogalom alá. Van egy olyan osztály is, amelyet ez a koncepció definiál, és csak akkor definiálható, ha nem így van.

Russell 1908 júniusában írta Frege-nek ezt az ellentmondást. A levelezés az egyik legérdekesebb és a logika történetében tárgyalt. Frege azonnal felismerte a paradoxon katasztrofális következményeit. Megjegyezte azonban, hogy a filozófia tulajdonságaira vonatkozó ellentmondás változatát a fogalmak szintjének megkülönböztetésével oldották meg.

Frege fogalmát úgy értelmezték, mint az érvekről az igazságértékekre való átmenet függvényét. Az első szint elvei argumentumként fogadják el az objektumokat, a második szintű fogalmak ezeket a függvényeket érveknek és így tovább. Így a koncepció soha nem vetheti magát érveléssé, és a tulajdonságokkal kapcsolatos paradoxon nem formálható. Mindazonáltal a Frege úgy értelmezte a készleteket, kiterjesztéseket vagy fogalmakat, mint ugyanazt a logikai típust, mint minden más objektumot. Ezután minden egyes készlet esetében felmerül a kérdés, hogy a fogalom meghatározza-e azt.

Amikor Frege megkapta Russell első betűjét, a "Számtani alapok" második könyve már befejeződött. Kénytelen volt gyorsan elkészíteni egy alkalmazást, amely a Russell-paradoxonra válaszolna. Frege példái számos megoldást tartalmaztak. De arra a következtetésre jutott, hogy a logikai rendszerben gyengítette a készlet absztrakciójának fogalmát.

Az eredetiben arra a következtetésre jutottunk, hogy egy objektum egy készlethez tartozik, ha és csak akkor, ha az a meghatározó koncepció alá esik. Egy felülvizsgált rendszerben csak azt lehet következtetni, hogy egy objektum egy setumhoz tartozik, ha és csak akkor, ha egy meghatározó készlet fogalma alá tartozik, és nem a szóban forgó készlet. Russell paradoxonja nem merül fel.

A döntés azonban nem elégítette ki a Frege-t. És ez volt az oka. Néhány évvel később egy felülvizsgált rendszer esetében összetettebb ellentmondás alakult ki. De mielőtt ez megtörtént volna, Frege visszautasította a döntését, és úgy tűnik, arra a következtetésre jutott, hogy megközelítése egyszerűen nem hatékony, és a logikusoknak egyáltalán nem kell megtenniük.

Mindazonáltal más, viszonylag sikeresebb alternatív megoldásokat javasoltak. Az alábbiakban tárgyaljuk.

Típuselmélet

Megjegyeztük, hogy Frege megfelelő választ adott a készletelmélet paradoxonjainak a tulajdonságokban megfogalmazott változatban. Frege válasza megelőzte a paradoxon ezen formájára leggyakrabban tárgyalt megoldást. Ez azon a tényen alapul, hogy a tulajdonságok különböző típusúak, és hogy az ingatlan típusa soha nem egyezik meg azokkal az elemekkel, amelyekre vonatkozik.

Így nem merül fel a kérdés, hogy az ingatlan magára alkalmazandó-e. Egy logikai nyelv, amely elválasztja az elemeket egy ilyen hierarchiától, a típuselméletet használja. Habár Frege már használta, először Russell az alapelvek függelékében teljesen kifejtette és igazolta. A típuselmélet sokkal teljesebb volt, mint a Frege-szintek közötti különbség. A tulajdonságokat nemcsak különböző logikai típusok között osztotta meg, hanem a készleteket is. A típuselmélet a Russell-paradoxonban az ellentmondást oldotta meg a következőképpen.

Annak érdekében, hogy filozófiailag megfelelő legyen, a tulajdonságok típuselméletének elfogadása megköveteli a tulajdonságok természetével kapcsolatos elmélet kifejlesztését oly módon, hogy megmagyarázzuk, miért nem alkalmazhatók magukra. Első pillantásra érdemes predikálni a saját tulajdonát. Az önazonosság tulajdonsága, úgy tűnik, szintén önazonosságú. A kellemes hangulat kellemesnek tűnik. Hasonlóképpen, nyilvánvalóan hamisnak tűnik azt mondani, hogy a macska tulajdonának macskája.

Mindazonáltal különböző gondolkodók különböző módon indokolják a fajtaosztást. Russell még különböző magyarázatokat adott a karrierjének különböző időpontjaiban. A maga részéről Frege különböző fogalmi szintek felosztásának alapja a fogalmi telítetlenség elméletéből származik. A fogalmak, mint funkciók, alapvetően hiányosak. Egy érték megadása érdekében argumentumra van szükségük. Nem lehet egyszerűen predikálni egy koncepciót egy azonos típusú koncepcióval, mert még mindig megköveteli az érvelését. Például, bár továbbra is lehetséges kivonni a négyzetgyököt egy bizonyos szám négyzetgyökérből, nem lehet egyszerűen alkalmazni a négyzetgyökfüggvényt a négyzetgyökfüggvényre, és megkapni az eredményt.

A tulajdonságok konzervativizmusáról

Az ingatlan paradoxon másik lehetséges megoldása az, hogy megtagadja egy ingatlan létezését bármely adott feltétel vagy jól megalapozott predikátum szerint. Természetesen, ha valaki objektív és független elemekként leválik a metafizikai tulajdonságokról, akkor a nominalizmus elfogadása esetén a paradoxon teljesen elkerülhető.

Az antinomia megoldásának azonban nem annyira extrémnek kell lennie. Frege és Russell által kifejlesztett magasabb rendű logikai rendszerek tartalmazzák azt a fogalmi elvet, hogy minden nyitott képlet esetében, függetlenül attól, hogy milyen komplex, létezik olyan elem vagy tulajdonság, amely csak olyan elemek példáján szerepel, amelyek megfelelnek a képletnek. Alkalmazták az esetleges feltételek vagy predikátumok tulajdonságait, függetlenül attól, hogy milyen összetettek voltak.

Mindazonáltal a tulajdonságok szigorúbb metafizikáját alkalmazhatnánk, amely az objektív létezés jogát egyszerű tulajdonságokra, például vörös színre, keménységre, kedvességre stb. Adhatja. Ezeket a tulajdonságokat magukra is alkalmazhatják, például a kedvességet Legyen kedves.

A komplex attribútumok ugyanazt a státuszt meg lehet tagadni például olyan "tulajdonságok" esetében, amelyeknél tizenhét feje van, és a víz alá van írva stb. Ebben az esetben egyetlen feltétel sem felel meg egy különálló Olyan meglévő elem, amelynek saját tulajdonságai vannak. Így meg lehet tagadni egy létező tulajdonság egyszerű tulajdonságának létezését, amely nem-alkalmazható-én, és elkerülhető a paradoxon a tulajdonságok konzervatívabb metafizikája alkalmazásával.

Russell paradoxonja: a megoldás

Megemlítették, hogy életének végén Frege teljesen elhagyta a készletek logikáját. Ez természetesen az antinomia egyik megoldása a készletek formájában: az ilyen elemek egészének létezésének egyszerű megtagadása. Emellett vannak más népszerű megoldások is, amelyek fő részleteit az alábbiakban ismertetjük.

A készletek típusainak elmélete

Mint korábban említettük, Russell egy olyan teljesebb elméletet javasolt a típusokról, amelyek nemcsak a tulajdonságokat vagy koncepciókat különítik el különböző típusúak, hanem a készleteket is. Russell a szetteket különálló objektumokkészletekké, egyéni objektumok készleteinek sorozataként osztotta fel. A készleteket nem tekintették objektumnak, és a készletek készletei voltak készletek. A készletnek soha nem volt olyan típusa, amely lehetővé teszi számomra, hogy tagja legyen önmagának. Ezért nincs olyan készlet, amely nem megfelelő kifejezések, mert minden olyan kérdésre vonatkozó kérdés, hogy tagja vagy-e, önmagában egyfajta jogsértés. Ismét itt a probléma, hogy tisztázzuk a készletek metafizikáját, hogy megmagyarázzuk a fajtaosztás filozófiai alapjait.

rétegzés

1937-ben a VV Quine alternatív megoldást javasolt, valamilyen módon a típuselmélethez hasonlóan. Az alapvető információk róla a következők.

Az elemek, készletek stb. Elkülönítése oly módon történik, hogy a készlet önmagában való feltevése mindig rossz vagy értelmetlen. A készletek csak azzal a feltétellel létezhetnek, hogy az őket meghatározó feltételek nem minősülnek a típusok megsértésének. Így a Quine esetében az "x nem tagja x-nek" egy olyan fontos kijelentés, amely nem jelenti azt, hogy létezik az összes x elem, amely megfelel ennek a feltételnek.

Ebben a rendszerben a készlet létezik egy nyitott A képlet esetében, ha és csak akkor, ha rétegzett, vagyis ha a változókat természetes számok hozzárendelik oly módon, hogy az előző változó halmazában előforduló esemény minden egyes attribútumához a hozzárendeléshez egy kisebb legyen a változó, Mellette. Ez blokkolja a Russell-paradoxont, mivel a probléma meghatározásához alkalmazott képletnek ugyanaz a változója van a tagsági jel előtt és után, ami megalapozatlan.

Azonban meg kell határozni, hogy az eredményül kapott rendszer, amelyet Quine nevezett "Új alapjai a matematikai logika", következetes.

elutasítás

A Zermelo-Fraenkel-készletelmélet (ZF) teljesen más megközelítést alkalmaz. Itt is létrejön a készletek létezésének korlátozása. Russell és Frege "felülről lefelé" megközelítése helyett, aki eredetileg úgy gondolta, hogy minden fogalom, vagyon vagy állapot esetén feltételezhető, hogy létezik egy ilyen tulajdonsággal rendelkező vagy egy ilyen feltétel teljesülése, a CF elméletben minden "alulról felfelé" indul.

Az egyes elemek és az üres készlet egy készletet alkotnak. Ezért, ellentétben Russell és Frege korai rendszerével, az FT nem tartozik az univerzális készlethez, amely magában foglalja az összes elemet, sőt minden készletet. Az FT határozza meg a készletek létezését. Csak olyanok létezhetnek, amelyekre kifejezetten feltételezik, vagy amelyeket iteratív folyamatokkal lehet összeállítani, és így tovább.

Aztán egy naiv készlet absztrakciójának fogalma helyett, amely azt mondja, hogy egy elemet egy bizonyos készletbe foglalunk, ha és csak akkor, ha megfelel egy meghatározó feltételnek, az FT-ben az elválasztás, elválasztás vagy "válogatás" elvét használjuk. Ahelyett, hogy feltételezzük, hogy létezik olyan elemcsoport, amely kivétel nélkül kielégít egy bizonyos feltételt, minden már létező készlet esetében a válogatás azt jelöli, hogy létezik egy olyan részhalmaz, amely az eredeti készletben teljesíti az állapotot.

Ezután az absztrakciós elv jön: ha az A készlet létezik, akkor minden A elem esetén az x az A részhalmazhoz tartozik, amely kielégíti a C feltételt, ha és csak akkor, ha x kielégíti a C feltételet. Ez a megközelítés megoldja a Russell-paradoxont, Hogy van egy sor olyan készlet, amely nem tagjai maguknak.

Ha készleteket állítunk össze, megkülönböztetjük vagy szétválaszthatjuk azokat a készleteket, amelyek magukban vannak, és azok, amelyek nem, de mivel nincs univerzális készlet, nem kapcsolódik össze az összes készlet halmaza. Russell problémájának feltevése nélkül az ellentmondás nem bizonyítható.

Egyéb megoldások

Mindezen megoldások későbbi kiterjesztései vagy módosításai is megtörténtek, például a "matematikai alapelvek" típusának elmélete, a Quine "matematikai logika" rendszerének bővítése, valamint a Bernays, Gödel és von Neumann későbbi fejlesztései. Az a kérdés, hogy a Bertrand Russell elviselhetetlen paradoxonára adott válasz még mindig vita tárgyát képezi.